東大2005年理系数学

ハロモニまで起きているため解いてみる。以下その感想。難易度は主観。
[１]C***。典型問題。(1)ａ_n、ｂ_nにｘが入らない事に注意すれば単なる帰納法。漸化式も自然に出てくる。(2)ｂ_nは簡単。自分はａ_ｎの方は少し考えても解き方が分からなかったので実験してみる。{ａ_ｎ}=1,-3,11,-50・・・、{ｈ_ｎ}=1/1,3/2,11/6,50/24・・・なので、ａ_ｎ={(-1)^n+1}・ｎ!・ｈ_ｎと容易に予想が付いた。あとは(1)と同様帰納法で終了。
[２]C***。題意がややこしいけど何とかなる範囲。とりあえず定石通りにz=の形に表し、z=1±(1+w)^1/2を得る。よく分からない(1+w)^1/2をa+biと置くとw=(a^2-b^2-1)+2abiであり、また|z|>5/4より、両辺２乗し計算すると(a±1)^2+b^2>25/16を得る。題意よりこれを満たさなければよいのでa,bの組み合わせは不等号を=にした２円の共通部分U。|w|=a^2+b^2-1よりU内の点の絶対値の最大値を求めればよく図よりa=0,b=±3/4なのでw=-25/16。全然エレガントな解法ではないけど題意のまんま考えるとこうなった。
[３]C***。一応典型問題。y=f(x)とy=xのグラフを比べてあれやこれや言えば少しは点がもらえるとは思う。 正式な証明には平均値の定理が必要であることを知っているかどうかが鍵。
[４]C**。題意も分かり易くすぐに手が付くので６問の中ではいちばん簡単だと思う。
[５]C***。(1)はｄがａ通り、(2)はｃ、ｄがａ+ｂ通りであることがわかるかどうかの問題。河合によるとブラックジャックの定式化の問題らしい。
[６]C****。東大の好きな立体の求積。まずはきちんと断面図が書けるかどうかが勝負。積分が面倒なので式を立てて終了した方が得点の期待値は大きそう。
全体としては出題者はよく入試問題を研究していて、どれも素晴らしい問題だと思います。試験として自分が解いたら８０点位だろうな。
あとはてなでどうやら数式もかけるみたいなので暇があればチャレンジしてみます。