算数の問題２

本当は昨日掲載する予定でしたが遅れてすみません。問題を再々掲。

図形「Ｗ」が中に収まる長方形のうち最小の面積のものはいくらか。
ただし、Ｗを構成している５本の線分はすべて長さが１で線分同士のなす角は30度とする。

直観でＷと平行な長方形だと分かりますがそれだと示すのはなかなか難しい。ちなみにこの長方形の面積は小学生でも出せます。以下長くなりますが解答を書きます。図は自分で適宜補充して下さい。

ＷをAB=CD=1,AD=4sin15゜,BC=2sin15゜の等脚台形としても良い(∵長方形EFGHは凸)。
(鄯)Aが長方形の内部にあるとき。∠DAB=75゜＜90゜より最小とはなり得ない。
(鄱)Aが長方形の頂点上(Eとする)にあるとき。∠BAF=X(0゜≦X≦15゜)とおく。∠DAH=∠BCF=15゜-Xより、長方形の面積
S=AF・AH={cosX+2sin15゜sin(15゜-X)}{4sin15゜cos(15゜-X)}
=4sin15゜{cosXcos(15゜-X)+2sin15゜sin(15゜-X)cos(15゜-X)}
=4sin15゜[{cos15゜+cos(15゜-2X)}/2+{sin15゜sin(30゜-2X)}](←積和・倍角)
=2sin15゜cos15゜+2sin15゜{cosθ+2sin15゜sin(θ+15゜)}(15゜-2X=θとおいた)
=…=1/2+2sin15゜{1/2・sinθ+(2-√3/2)cosθ}(←加法定理とかで整理)
=1/2+2sin15゜{(1/2)^2+(2-√3/2)^2}^1/2・sin(θ+α)(←sinの合成)
(αはtanα=(2-√3/2)/(1/2)=4-√3,0゜＜α＜90゜を満たす定数)
0゜≦X≦15゜⇔-15゜≦θ≦15゜,60゜＜α＜75゜より、45゜＜θ+α＜90゜。
(∵tan60゜=√3=1.7…,tan75゜=2+√3=3.7…,tanα=4-√3=2.2…)
∴Sの最小値はθ=-15゜⇔X=15゜のときでS=1を取る。(←AD=EHとなる)
(鄴)Aが長方形の辺上にあるとき。∠EAB=Y(0゜＜Y＜90゜)とおく。
(ア)0゜＜Y≦15゜のとき。A=Hであるが、これは(鄱)と同じ。
(イ)15゜＜Y≦30゜のとき。D=Gであるが、これも(鄱)と同じ。
(ウ)30゜＜Y≦75゜のとき。15゜＜∠EAB＜75゜,AD=4sin15゜＞1,15゜＜∠HDA＜75゜よりS=1のときの長方形よりも大きくなってしまう。
(エ)75゜＜Y＜90゜のとき。15゜＜∠GCD＜75゜,AD=4sin15゜＞1,15゜＜∠HDA＜75゜より(ウ)と同様S=1のときの長方形よりも大きくなってしまう。
以上(鄯)(鄱)(鄴)より、求める答えは１。

もっと楽な方法はないのでしょうか…。打つのに丸２時間かかった。
感想や批判とかお待ちしています。