麻雀

３日後に答えを書くと言いながら全く書かなくてすみません。
問題を再掲。

国士無双、七対子以外の向聴数の公式を面子数、対子数、塔子数を使って表せ。

では、解答です。分からない用語があったら適当にググって下さい。

面子(メンツ)、対子(トイツ)、塔子(ターツ)をそれぞれX,Y,Z､またその数をｘ,ｙ,ｚと置く。(four_seasonsさんのを利用させてもらいました)
題意より、
XXXXY
を作ればよい。
面子Xが出来るまでは、
K→W→X(K:孤立牌､W:YorZ)
という段階を踏む必要がある。
Wの数をwとすると､(つまりw=y+z)
(鄯)x+w≦4のとき。
W→Xをw回､K→Xを4-(x+y)回、K→Yを1回行えばよい。(Kは必ず１つ以上存在する)
よって、求める向聴(シャンテン)数は、
[1･w+2･{4-(x+y)}+1]-1=8-2x-y-z(最後の-1は聴牌(テンパイ)が０向聴であることを考慮､またw=y+zを使った)
(鄱)x+w≧5のとき。
(ア)y=0のとき。
K→Yを1回、W(Z)→Xを4-x回行えばよい。(Kが存在しないときは余ったZをK+Kとすればよい)
よって、向聴数は、
{1+(4-x)}-1=4-x
(イ)y≧1のとき。
W→Xを4-x回行えばよいので、向聴数は、
(4-x)-1=3-x

大雑把に言うと、「面子、対子、塔子が少ないときは対子や塔子が出来れば向聴数が少なくなるが、多くなると４面子１雀頭(対子)を目指さないと向聴数が少なくならない」ということです。
余談ですが、２､３週間後の「アカギ」にニセアカギが13牌を見て向聴数を言う場面が出てくると思いますが、たぶんこの公式を使っているのでしょう。