JMO予選

11､12以外は解いてみた。
かかった時間は１番から順に、1/3/2/14/14/3/19/4/26/45(min)くらい。
以下感想。ネタバレ有り。

１,２,３:教科書レベル。
４:３数の大小をa,b,cと設定して、最小の平方数であるa+bで場合分け。a+b=4^2のときに急に６つ見つかってそのうちの最小のものが答えになった。
５:四角い頭を丸くしないと解けない。頑張って力技でやろうとしたが失敗した。
６:ダメな場合である８つのパターンから重なっているモノを足したり引いたりした。
７:最大公約数の候補が1〜33の33個しかないのですべて調べた。１つ見つければ次にいけるのでそんなには苦労しなかった。
８:９つの章を４ページにすればよい。あと１日減らせないことを示して終了。相手を足止めするにはどうすればよいのかを考えるのは麻雀と似ている。
９:図を書いたら菱形が３つできて、それにより外接円の中心を結んだ三角形が元の三角形を合同であることが簡単に分かるので、結局元の三角形の外接円を求めればよい。あとは教科書レベル。
10:20個の頂点に記号を付け、鏡像を含めないで(最後の１手を指定して)すべて書き出して９通りになった。なので18通りが答えだと思う。書き出してみると場合分けは最初の６手だけで後は限定手だったので意外と数が少なかった。

全体的に場合の数の問題が多いですね。答えが合っているかどうか不安になるのであまり好きでは無いですが、問題作成者にとっては作りやすいのでしょうね。
11は三角関数で置換するしか無いのだが、そこからがわからない。
12はax+by=1の整数解の求め方と関係があるのだとは思うんだけど。