東大２次part２

昨日の続きです。

４．(1)は計算問題。(2)は工夫して行列を見つけさせる問題かと思いきや、あっけなく直接Ｐ、Ｑが求まってしまう。(3)が難しいのかと思い取りかかるが、最初の３つ位を計算しただけで答えが予想できてしまう。丁寧に帰納法を使って示したが、予備校の解答を見るとどの予備校も帰納法を使っていませんね。１番ではどの予備校も帰納法を使っているのになぜ４番では使わないで良いのか基準がわかりません。本質的に違うところでもあるのでしょうか。
５．ゲーム性が微塵にも感じられないブロック積みゲームの問題。念のためn=3についてすべて書き出して答えを確認したが、その必要もないくらい内容は簡単だった。特に言及するところもないので、この問題の現実における応用を考えてみた。この問題から、「ある高校が甲子園の何回戦まで、どのくらいの確率で行けるのか」を求めることができる。ｐを、「ある高校の勝率」（たとえば、ＰＬ学園はp=0.99くらいになるでしょう）、ｎを「ある高校が優勝するまでに必要な勝利数」（予選も含めると地域にもよるがn=15くらい、含めないとn=5 or 6でしょう）とすると、p(m)は「ある高校がｍ＋１回戦まで行ける確率」（p(n)は優勝する確率）、q(m)はr(m)を求めるのに必要な値であると考えて、r(m)は「春、夏あわせてｍ＋１回戦まで行ける確率」ということになる((春と夏の２回というところでこの考えを閃いた)。ただ、トーナメントを勝ち上がっていくに従い、ｐの値が小さくなるのでそれを考慮する必要がある。また、ｐをどうやって調べるのかも問題となる。
６．(1)は直前の大数２月号の学コン４番でも同じやり方がありましたね。やっていた人はラッキーでした。(2)は、普通に（a+x/a-x）=2を代入すると2/3＜log2＜3/4しか示されないのでさてどうしましょうという問題。ここで方針として、（ア）「2に関連する値をいろいろ代入してみる」、（イ）「分割して近似の精度を良くする」の２つがあるが自分は（ア）を選択。まず（a+x/a-x）=16を代入してみるとより精度が悪くなった(図形的に考えれば明らかだが)。（a+ｘ/a-x）を1に近づければ精度が良くなるということに気付く。ここで「2^(1/2)」を代入することを思いつけば簡単に解決するのだが、自分が思いついたのは「4/e」を代入すること。2.7＜e＜2.8では題意の評価は無理だったが、2.7＜e＜2.75で成功しました。「π=3.14…」が明らかならば「e=2.71…」も明らかにして良いですよね。eはπと並んで有名な数だとは思うのだが、世間的には有名ではないのでしょうね。

時間は、４．２５分、５．２５分、６．２５分。今回はすべてきっちりと解答を書きました。
難易は、１．Ｂ*、２．Ｃ***、３．Ｃ****、４．Ｂ**、５．Ｂ**、６．Ｃ***くらいでしょうか。個人的には2002年と同じくらい簡単だったと思うのだがどうなんでしょうか。